Nel campo dell’algebra e della geometria, il concetto di molteplicità è di fondamentale importanza. La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica sono due approcci differenti per descrivere le proprietà di un oggetto matematico, come un polinomio o una curva.
La molteplicità algebrica è un concetto algebraico che riguarda le radici di un polinomio. Essa rappresenta il numero di volte in cui una radice si ripete nel polinomio. Ad esempio, se il polinomio ha una radice multipla, la sua molteplicità algebrica sarà maggiore di 1.
La molteplicità geometrica, d’altra parte, è un concetto geometrico che riguarda la curva associata a un polinomio. Essa rappresenta il numero di volte in cui la curva interseca una retta o una superficie. Ad esempio, se una curva interseca una retta in un punto singolo, la sua molteplicità geometrica sarà 1.
In questo post, esamineremo le differenze tra la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica, e vedremo come queste due definizioni possono essere utilizzate per analizzare e comprendere meglio le proprietà di oggetti matematici complessi.
La molteplicità algebrica è definita come il numero di volte che un certo valore si ripete come radice di un polinomio.
La molteplicità algebrica di un autovalore λ_0 di una matrice A è il numero di volte che λ_0 è una radice del polinomio caratteristico di A. In altre parole, se il polinomio caratteristico di A è P(λ) = (λ – λ_0)^m_a(λ_0) * Q(λ), dove m_a(λ_0) è la molteplicità algebrica di λ_0 e Q(λ) è un polinomio senza radici λ_0, allora m_a(λ_0) rappresenta il numero di volte che λ_0 si ripete come radice del polinomio caratteristico.
D’altro canto, la molteplicità geometrica di un autovalore λ_0 di una matrice A è definita come la differenza tra l’ordine della matrice A e il rango della matrice A – λ_0I, dove I è la matrice identità. In termini più semplici, la molteplicità geometrica di λ_0 rappresenta la dimensione dello spazio vettoriale degli autovettori associati ad λ_0.
È interessante notare che la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di un autovalore possono essere uguali o diverse. Se m_a(λ_0) = m_g(λ_0), allora si dice che l’autovalore λ_0 è semplice. Se invece m_a(λ_0) > m_g(λ_0), allora λ_0 è un autovalore di molteplicità algebrica superiore alla sua molteplicità geometrica. Invece, se m_a(λ_0) < m_g(λ_0), allora λ_0 è un autovalore di molteplicità algebrica inferiore alla sua molteplicità geometrica.
Quanto vale la molteplicità geometrica dellautovalore?
L’autovalore λ1 ha molteplicità pari a uno perché annulla il polinomio caratteristico in un solo caso: (λ+1). Questo significa che c’è un solo vettore proprio associato a λ1. La molteplicità geometrica di un autovalore rappresenta il numero di vettori propri linearmente indipendenti associati a quell’autovalore. Nel caso dell’autovalore λ1, la molteplicità geometrica è quindi pari a uno.
La molteplicità geometrica di un autovalore può essere diversa dalla sua molteplicità algebrica. La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che l’autovalore appare come radice del polinomio caratteristico. Nel caso dell’autovalore λ1, la molteplicità algebrica è anch’essa pari a uno, poiché il polinomio caratteristico annulla λ1 una sola volta.
In generale, la molteplicità geometrica di un autovalore può essere minore o uguale alla sua molteplicità algebrica. Se la molteplicità geometrica è minore della molteplicità algebrica, significa che ci sono dei vettori propri associati all’autovalore che sono linearmente dipendenti. In altre parole, ci sono meno direzioni di vettori propri indipendenti di quanto ci si aspetterebbe dalla molteplicità algebrica dell’autovalore.
In conclusione, l’autovalore λ1 ha molteplicità geometrica pari a uno, il che significa che c’è un solo vettore proprio linearmente indipendente associato a λ1.
Domanda: Come si calcola la molteplicità?
La molteplicità di una radice di un polinomio p(t) si calcola considerando il numero di volte che il binomio (t-a) si ripete come fattore nel polinomio. In altre parole, la radice a ha una molteplicità m se (t-a) elevato alla potenza m divide p(t), mentre (t-a) elevato alla potenza m+1 non divide p(t).
Ad esempio, se consideriamo il polinomio p(t) = (t-5) elevato alla potenza 3, moltiplicato per (t+10), la radice 5 ha una molteplicità di 3, poiché (t-5) elevato alla potenza 3 divide p(t), mentre la radice -10 ha una molteplicità di 1, poiché (t+10) divide p(t) una sola volta.
La molteplicità delle radici di un polinomio è importante perché influisce sul comportamento del polinomio e sulla sua rappresentazione grafica. Le radici con molteplicità pari hanno un punto di tangenza con l’asse delle x, mentre le radici con molteplicità dispari attraversano l’asse delle x. Inoltre, la molteplicità delle radici influisce sul numero di intersezioni del polinomio con l’asse delle x.