Successione Definita per Ricorrenza: Introduzione e Esempi

Una successione definita per ricorrenza è una successione in cui ciascun termine, escluso il primo o i primi, è ottenibile dal precedente (o dai precedenti) attraverso una formula che si ripete a ciascun passo. Questo tipo di successione è molto comune in matematica e viene spesso utilizzata per descrivere fenomeni che si ripetono nel tempo o che seguono un determinato pattern.

Le successioni definite per ricorrenza sono spesso rappresentate dalla seguente notazione:

a_n = f(a_n-1, a_n-2, …, a_n-k)

dove a_n rappresenta il termine generico della successione, f è una funzione che determina come ottenere il termine successivo a partire dai termini precedenti a_n-1, a_n-2, …, a_n-k.

Ad esempio, consideriamo la successione definita per ricorrenza:

1. a₁ = 1
2. a₂ = 2
3. a_n = a_n-1 + a_n-2 per n ≥ 3

In questa successione, i primi due termini sono dati e ogni termine successivo è ottenuto sommando i due termini precedenti. Quindi, il terzo termine sarà a₃ = a₂ + a₁ = 2 + 1 = 3, il quarto termine sarà a₄ = a₃ + a₂ = 3 + 2 = 5, e così via.

Le successioni definite per ricorrenza possono essere utilizzate per modellare una varietà di fenomeni, come la crescita di una popolazione, l’interesse composto su un investimento, o la propagazione di un’onda sonora. Sono anche ampiamente utilizzate in algoritmi e programmazione per creare sequenze di numeri o per risolvere problemi complessi.

Come calcolare il limite di una successione definita per ricorrenza

Per calcolare il limite di una successione definita per ricorrenza, è necessario seguire alcuni passaggi. Innanzitutto, bisogna trovare una formula esplicita per la successione. Questo può essere fatto risolvendo l’equazione di ricorrenza che definisce la successione.

Una volta ottenuta la formula esplicita, si può procedere a calcolare il limite della successione. Ci sono diversi metodi che possono essere utilizzati, a seconda della natura della successione. Ad esempio, se la successione è una progressione aritmetica o geometrica, si possono utilizzare le formule di somma o prodotto delle serie.

Se la successione non rientra in una delle categorie sopra menzionate, può essere utile utilizzare il teorema del limite di una successione. Secondo questo teorema, se una successione è convergente, allora il suo limite è uguale al limite della sua successione.

Infine, una volta calcolato il limite, è importante verificare se la successione è convergente o divergente. Per fare ciò, è possibile utilizzare il criterio di convergenza delle successioni, che può essere il criterio del confronto, il criterio del rapporto o il criterio della radice, a seconda della situazione.

Esempi di successioni definite per ricorrenza

Le successioni definite per ricorrenza sono una tipologia di successioni in cui ogni termine è definito in funzione dei termini precedenti. Ecco alcuni esempi di successioni definite per ricorrenza:

1. La successione di Fibonacci:

i primi due termini sono 0 e 1, mentre ogni termine successivo è ottenuto sommando i due termini precedenti.

2. La successione di Lucas: i primi due termini sono 2 e 1, mentre ogni termine successivo è ottenuto sommando i due termini precedenti.
3. La successione di Pell: i primi due termini sono 0 e 1, mentre ogni termine successivo è ottenuto raddoppiando il termine precedente e sommando il penultimo termine.

Dimostrazione per ricorrenza: come provare la validità di una successione

La dimostrazione per ricorrenza è un metodo comune per provare la validità di una successione definita per ricorrenza. Questo metodo si basa sul principio di induzione matematica.

Per dimostrare la validità di una successione per ricorrenza, si seguono generalmente i seguenti passaggi:

1. Passo base:

Si verifica che la formula sia valida per il primo termine della successione. Questo è generalmente fatto sostituendo il valore del termine nella formula di ricorrenza e verificando se l’uguaglianza è valida.

2. Passo induttivo: Si assume che la formula sia valida per un generico termine k della successione e si dimostra che è valida anche per il successivo termine k+1. Questo viene fatto sostituendo il valore del termine k+1 nella formula di ricorrenza e verificando se l’uguaglianza è valida.
3. Conclusione: Dopo aver dimostrato che la formula è valida per il primo termine e che se è valida per un generico termine k lo è anche per il successivo termine k+1, si può concludere che la formula è valida per tutti i termini successivi della successione.

Esercizi svolti sulle successioni ricorsive

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti sulle successioni ricorsive:

1. Esercizio 1:

Trovare i primi dieci termini della successione definita per ricorrenza a(n) = 2*a(n-1) + 1, con a(1) = 1.

Per risolvere questo esercizio, possiamo utilizzare il metodo della ricorrenza. Iniziamo con il valore del primo termine a(1) = 1. Poi, utilizzando la formula di ricorrenza, possiamo calcolare i successivi termini:

1. a(2) = 2*a(1) + 1 = 2*1 + 1 = 3
2. a(3) = 2*a(2) + 1 = 2*3 + 1 = 7
3. a(4) = 2*a(3) + 1 = 2*7 + 1 = 15
4. a(5) = 2*a(4) + 1 = 2*15 + 1 = 31
5. a(6) = 2*a(5) + 1 = 2*31 + 1 = 63
6. a(7) = 2*a(6) + 1 = 2*63 + 1 = 127
7. a(8) = 2*a(7) + 1 = 2*127 + 1 = 255
8. a(9) = 2*a(8) + 1 = 2*255 + 1 = 511
9. a(10) = 2*a(9) + 1 = 2*511 + 1 = 1023

Quindi, i primi dieci termini della successione sono: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023.

2. Esercizio 2: Determinare se la successione definita per ricorrenza a(n) = n*a(n-1), con a(1) = 1, è convergente o divergente.

Per determinare se la successione è convergente o divergente, possiamo esaminare il comportamento dei suoi termini. Possiamo utilizzare il metodo della ricorrenza per calcolare i primi termini:

1. a(2) = 2*a(1) = 2*1 = 2
2. a(3) = 3*a(2) = 3*2 = 6
3. a(4) = 4*a(3) = 4*6 = 24
4. a(5) = 5*a(4) = 5*24 = 120

Notiamo che i termini aumentano rapidamente con l’aumentare del valore di n. Questo suggerisce che la successione è divergente e non ha un limite finito.

Successioni per ricorrenza: esempi e applicazioni pratiche

Le successioni definite per ricorrenza hanno numerose applicazioni pratiche in vari campi della matematica e della scienza. Ecco alcuni esempi e applicazioni pratiche delle successioni per ricorrenza:

1. La successione di Fibonacci è ampiamente utilizzata in teoria dei numeri, geometria e analisi matematica. Ha numerose applicazioni anche in biologia, in particolare nella modellazione del crescimento delle popolazioni.
2. La successione di Lucas trova applicazioni nel campo della teoria dei numeri, nella crittografia e nella modellazione del crescimento di alcune piante.
3. Le successioni per ricorrenza possono essere utilizzate per modellare il comportamento di sistemi dinamici, come ad esempio il movimento di un pendolo o il comportamento di una popolazione di animali.
4. In informatica, le successioni per ricorrenza possono essere utilizzate per generare sequenze di numeri casuali o per implementare algoritmi di calcolo.